Question

已知函数f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b是偶函数，则此函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值为（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、4
• D、-2

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用函数是偶函数，建立方程关系即可得到a，b的关系，然后利用换元法即可求出函数的图象与y轴交点的纵坐标的最大值．

解答： 解：∵函数f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即x2-(b-

2-a2

)x+a+b=x2+(b-

2-a2

)x+a+b，
∴-(b-

2-a2

)x=(b-

2-a2

)x，
即b-

2-a2

=0，
∴b=

2-a2

，
则f(x)=x2+(b-

2-a2

)x+a+b=x²+a+b=x2+a+

2-a2

，
∴此函数的图象与y轴交点的纵坐标为a+

2-a2

，
设a=

2

sinx，则a+

2-a2

=

2

sinx+

2-2sin2x

=

2

sinx+

2

|cosx|，
若cosx≥0，则

2

sinx+

2

|cosx|=

2

sinx+

2

cosx=2sin(x+

π

4

)≤2，
若cosx＜0，则

2

sinx+

2

|cosx|=

2

sinx-

2

cosx=2sin(x-

π

4

)≤2，
综上y轴交点的纵坐标的最大值为2．
故选：B．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的性质求出a，b的关系是解决本题的关键，利用换元法求函数的最值，综合性较强．