Question

已知幂函数f（x）=x m2-1（m∈Z）图象与x，y轴无交点且关于原点对称，求：
（1）函数的解析式；
（2）判断函数F（x）=a

f2(x)

-

b

f(x)

的奇偶性．

Answer 1

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域,幂函数图象及其与指数的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知条件推导出m²-1＜0，且m²-1为奇函数，由此能求出m，从而能求出函数的解析式．
（2）由f（x）的解析式求出F（x），再求出F（-x）与F（x）相比较，能判断函数F（x）=a

f2(x)

-

b

f(x)

的奇偶性．

解答： 解：（1）∵幂函数f（x）=x m2-1（m∈Z）图象与x，y轴无交点，
∴m²-1＜0，解得-1＜m＜1
∵图象关于原点对称，
∴x^m-1为奇函数，∴m=0，
∴f（x）=x^-1．
（2）∵f（x）=x^-1，
∴F（x）=a

f2(x)

-

b

f(x)

=a

x-2

-

b

x-1

=a|

1

x

|-bx，
∴F（-x）=a|

1

-x

|-b（-x）=a|

1

x

|+bx≠±F（x），
∴函数F（x）=a

f2(x)

-

b

f(x)

是非奇非偶函数．

点评：本题考查涵函数的解析式的求法，考查函数的奇偶性的判断，是基础题，解题时要熟练掌握幂函数的概念．