Question

求曲线y=

x

（0≤x≤4）上的一条切线，使此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=

x

所围成的平面图形的面积最小．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：先根据导数的几何意义求出曲线y=

x

（0≤x≤4）上任一点处的切线方程，再求出积分的上下限，然后利用定积分表示出图形面积，最后利用定积分的定义进行求解即可．

解答： 解：设（x₀，y₀）为曲线y=

x

（0≤x≤4）上任一点，得曲线于该点处的切线方程为：y-y0=

1

2 x0

(x-x0)即y=

y0

2

+

x

2 x0

．
得其与x=0，x=4的交点分别为(0，

y0

2

)，(4，

y0

2

+

2

y0

)
于是由此切线与直线x=0，x=4以及曲线y=

x

所围的平面图形面积为：S=

∫

4 0

(

y0

2

+

x

2 x0

-

x

)dx=2y0+

4

x0

-

16

3

=2

x0

+

4

x0

-

16

3

应用均值不等式求得x₀=2时，S取得最小值．
即所求切线即为：y=

x

2 2

+

2

2

．

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了利用定积分求图形面积的能力．应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的，属于基础题．