Question

已知tan（π+α）=3．求：
（1）

2cos(π-α)-3sin(π+α)

4cos(-α)+sin(2π-α)

；
（2）sin2α-sin(α+

3π

2

)cos(α+

π

2

)+2；
（3）

1

1+sin(α+π)cos(α-π)

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：利用三角函数的诱导公式化简已知条件为tanα=3．
（1）利用三角函数的诱导公式化简，然后分子分母同时除以cosα，得到有关tanα的计算式，代入计算即可．
（2）利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系将原式化简为

3sin2α-cosαsinα+2cos2α

sin2α+cos2α

，分子分母同时除以cos²α，即可解答．
（3）利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系将原式化简为

sin2α+cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα

，分子分母同时除以cos²α，即可解答．

解答： 解；由已知tan（π+α）=tanα=3．
（1）

2cos(π-α)-3sin(π+α)

4cos(-α)+sin(2π-α)

=

-2cosα+3sinα

4cosα-sinα

=

-2cosα+3sinα cosα

4cosα-sinα cosα

=

-2+3tanα

4-tanα

=

-2+9

4-3

=7．
（2）sin2α-sin(α+

3π

2

)cos(α+

π

2

)+2
=sin²α-cosαsinα+2（sin²α+cos²α）
=

3sin2α-cosαsinα+2cos2α

sin2α+cos2α

=

3sin2α-cosαsinα+2cos2α cos2α

sin2α+cos2α cos2α

=

3tan2α-tanα+2

tan2α+1

=

3•9-2+2

9+1

=

13

5

．
（3）

1

1+sin(α+π)cos(α-π)

=

sin2α+cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα

=

sin2α+cos2α cos2α

sin2α+cos2α+sinαcosα cos2α

=

tan2α+1

tan2α+1+tanα

=

9+1

9+1+3

=

10

13

．

点评：本题考查三角函数的诱导公式，正弦，余弦与正切之间的转化，同角三角函数的基本关系式等知识在三角函数化简求值中的综合运用．属于中档题．