Question

在平面直角坐标系中，定义两点P（x₁，y₁）与Q（x₂，y₂）之间的“直角距离”为d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．给出下列命题：
（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），则d（P，Q）的最大值为3+

5

；
（2）若P，Q是圆x²+y²=1上的任意两点，则d（P，Q）的最大值为2

2

；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为

1

2

．
其中为真命题的是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）
• C、（1）（3）
• D、（2）（3）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,两点间距离公式的应用

专题：新定义,简易逻辑

分析：先根据直角距离的定义分别表示出所求的问题的表达式，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答： 解：（1）若P（1，2），Q（sinα，2cosα）（α∈R），
则d（P，Q）=|1-sinα|+|2-2cosα|≤1+|sinα|+2+2|cosα|，
而当α∈[0，

π

2

]，|sinα|+2|cosα|=

5

sin(α+θ)≤

5

，
∴d（P，Q）的最大值为3+

5

；①正确；
（2）若P，Q是圆x²+y²=1上的任意两点，当P，Q是直线y=x与x²+y²=1的交点时，则d（P，Q）的最大值为2

2

；②正确；
（3）若P（1，3），点Q为直线y=2x上的动点，则d（P，Q）的最小值为

1

2

．
设Q（x，y），B（1，3）
则d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|=|x-1|+|y-3|=|x-1|+|2x-3|
而|x-1|+|2x-3|表示数轴上的x到1和

3

2

的距离2倍的之和，其最小值为

1

2

．
③正确．
故选：A．

点评：本题主要考查了“直角距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．