Question

电子蛙跳游戏是：青蛙第一步从如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁顶点A起跳，每步从一顶点跳到相邻的顶点．
（1）求跳三步跳到C₁的概率P；
（2）青蛙跳五步，用x表示跳到过C₁的次数，求随机变量x的概率分布及数学期望E（x）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）将A标示为0，A₁、B、D标示为1，B₁、C、D₁标示为2，C₁标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B₁再跳到A₁记为121，其余类推．由已知条件从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为

1

3

，从1到2与从2到1的概率为

2

3

．由此能求出跳三步跳到C₁的概率．
（2）由题设知X=0，1，2．分别求出P（X=1），P（X=2），P（X=0），由此能求出X的分布列和E（X）．

解答： 解：（1）将A标示为0，A₁、B、D标示为1，B₁、C、D₁标示为2，
C₁标示为3，从A跳到B记为01，从B跳到B₁再跳到A₁记为121，其余类推．
从0到1与从3到2的概率为1，从1到0与从2到3的概率为

1

3

，
从1到2与从2到1的概率为

2

3

．
跳三步跳到C₁的概率：
P=P（0123）=1×

2

3

×

1

3

=

2

9

； …4′
（2）由题设知X=0，1，2．
P（X=1）=P（010123）+P（012123）+P（012321）
=1×

1

3

×1×

2

3

×

1

3

+1×

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

3

+1×

2

3

×

1

3

×1×

2

3

=

26

81

，
P（X=2）=P（012323）=1×

2

3

×

1

3

×1×

1

3

=

6

81

，
P（X=0）=1-P（X=1）-P（X=2）=

49

81

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
p	49 81	26 81	6 81

∴E（X）=1×

26

81

+2×

6

81

=

38

81

．…10′

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．