Question

已知函数f（x）=

1

2

ax2+2lnx，曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4．
（1）求a的值及切线方程；
（2）点P（x，y）为曲线y=f′（x）上一点，求y-x的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4，建立方程，即可求a的值及切线方程；
（2）利用导函数，结合函数的定义域，利用基本不等式，即可求y-x的最小值．

解答： 解：（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2lnx，∴f′(x)=ax+

2

x

…2分
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线斜率为4，
∴f'（1）=a+2=4…3分
∴a=2…4分
∴f（1）=1…5分
∴切线方程为y-1=4（x-1），即4x-y-3=0…7分
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）…8分
∵点P（x，y）为曲线y=f'（x）上一点，
∴y-x=x+

2

x

≥2

2

，当且仅当x=

2

时，等号成立．…12分
∴y-x的最小值为2

2

．…13分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．