Question

已知函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知

m

=（a，b），

n

=（f（C），1）且

m

∥

n

，求B．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用辅助角公式求函数y=f（x）的表达式，即可求出函数在x∈[0，2π]上的单调递增区间；
（Ⅱ）根据向量平行的坐标公式，以及正弦定理建立方程关系即可求B．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴由2kπ-

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得2kπ-

3π

4

≤x≤2kπ+

π

4

，
当k=0时，-

3π

4

≤x≤

π

4

，
k=1时，

5π

4

≤x≤

9π

4

，
∵x∈[0，2π]，
∴x∈[0，

π

4

]∪[

5π

4

，2π]，
∴函数y=f（x）在x∈[0，2π]上的单调递增区间为[0，

π

4

]，[

5π

4

，2π]；
（Ⅱ）∵f（C）=sinC+cosC，且

m

∥

n

，
∴a-f（C）b=0，
即a=b（sinC+cosC），
由正弦定理得sinA=sinB（sinC+cosC），
即sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC，
即cosBsinC=sinBsinC，
∵sinC≠0，
∴cosB=sinB，
即tanB=1，∴B=

π

4

．

点评：本题主要考查三角函数的化简以及正弦定理的应用，综合考查学生的运算能力．