Question

F（x）=sin（x+

7π

4

）+cos（x-

3π

4

），（x∈R）
（1）求F（x）的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；
（2）若cos（α-β）=

4

5

，cos（α+β）=-

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，求F²（β）-2的值．

Answer 1

考点：运用诱导公式化简求值,两角和与差的余弦函数

专题：计算题,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式可求得F（x）=2sin（x-

π

4

），从而可求得F（x）的最小正周期、最小值、图象对称轴方程；
（2）易求F²（β）=4×

1-cos(2β- π 2 )

2

=2（1-sin2β）；依题意，可求得sin（α-β）=-

3

5

，sin（α+β）=

3

5

，利用两角差的正弦可求得sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=0，从而可得
F²（β）-2的值．

解答： 解：（1）∵F（x）=sinxcos

7π

4

+cosxsin

7π

4

+cosxcos

3π

4

+sinxsin

3π

4

=

2

2

sinx-

2

2

cosx-

2

2

cosx+

2

2

sinx
=

2

（sinx-cosx）
=2sin（x-

π

4

），
∴F（x）的最小正周期T=2π，F（x）_min=-2，
由x-

π

4

=kπ-

π

2

（k∈Z）得，图象对称轴方程x=kπ-

π

4

（k∈Z）；
（2）∵F²（β）=4×

1-cos(2β- π 2 )

2

=2（1-sin2β）．
又cos（α-β）=

4

5

，0＜α＜β≤

π

2

，
∴-

π

2

≤α-β＜0，
∴sin（α-β）=-

3

5

，
又0＜α+β＜π，cos（α+β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

3

5

，
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]
=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）
=

3

5

×

4

5

-（-

4

5

）（-

3

5

）
=0，
∴F²（β）=2，
∴F²（β）-2=0．

点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式，考查转化思想与综合运算求解能力，属于难题．