Question

某市共有100万居民的月收入是通过“工资薪金所得”得到的，如图是抽样调查后得到的工资薪金所得X的频率分布直方图．工资薪金个人所得税税率表如表所示．表中“全月应纳税所得额”是指“工资薪金所得”减去3500元所超出的部分（3500元为个税起征点，不到3500元不缴税）．工资个税的计算公式为：“应纳税额”=“全月应纳税所得额”乘以“适用税率”减去“速算扣除数”．

全月应纳税所得额	适用税率（%）	速算扣除数
不超过1500元	3	0
超过1500元至4500元	10	105
超过4500元至9000元	20	555
…	…	…

例如：某人某月“工资薪金所得”为5500元，则“全月应纳税所得额”为5500-3500=2000元，应纳税额为2000×10%-105=95（元）
在直方图的工资薪金所得分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，工资薪金所得落入该区间的频率作为x取该区间中点值的概率．
（Ⅰ）试估计该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；
（Ⅱ）设该市居民每月从工资薪金所得交完税后，剩余的为其月可支配额y（元），试求该市居民月可支配额y的数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,函数模型的选择与应用

专题：应用题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图得到5组区间的中点值，再由直方图得到x取各组中点值的概率，由没组的中点值减去3500得到全月应纳税所得额，然后利用工资个税的计算公式求出每一组相应的工资个税，作和后得到该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款；
（Ⅱ）由工资减去个税得到5组居民月可支配额y，列出分布列后乘以相应的概率作和得该市居民月可支配额y的数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）工资薪金所得的5组区间的中点值依次为3000，5000，7000，9000，11000，
x取这些值的概率依次为0.15，0.3，0.4，0.1，0.05，
算得与其相对应的“全月应纳税所得额”依次为0，1500，3500，5500，7500（元），
按工资个税的计算公式，相应的工资个税分别为：0（元），1500×3%-0=45（元），
3500×10%-105=245（元），5500×20%-555=545（元），7500×20%-555=945（元）；
∴该市居民每月在工资薪金个人所得税上缴纳的总税款为：
（45×0.3+245×0.4+545×0.1+945×0.05）×10⁶=2.1325×10⁸（元）；
（Ⅱ）这5组居民月可支配额y取的值分别是y₁，y₂，y₃，y₄，y₅
y₁=3000（元）；y₂=5000-45=4955（元）；y₃=7000-245=6755（元）；
y₄=9000-545=8455（元）；y₅=11000-945=10055（元）；
∴y的分布列为：

y	3000	4955	6755	8455	10055
P	0.15	0.3	0.4	0.1	0.05

∴该市居民月可支配额的数学期望为：
Ey=3000×0.15+4955×0.3+6755×0.4+8455×0.1+10055×0.05=5986.75（元）．

点评：本题考查了函数模型的选择即应用，考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，关键是对题意的理解，是中档题．