Question

德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，

课     程	初等代数	初等几何	初等数论	微积分初步
合格的概率	3 4	2 3	2 3	1 2

（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（2）记ξ表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望Eξ．

Answer 1

考点：二项分布与n次独立重复试验的模型,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为P（ABCD）+P（ABC

.

D

）+P（AB

.

C

D），由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，

5

12

），由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件A，B，C，D，
且事件A，B，C，D相互独立，
“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：
P（ABCD）+P（ABC

.

D

）+P（AB

.

C

D）
=

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

2

3

•

1

2

+

3

4

•

2

3

•

1

3

•

1

2

=

5

12

．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，

5

12

），
P（ξ=0）=

C

0 3

(

7

12

)3=

343

1728

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

5

12

)(

7

12

)2=

735

1728

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

5

12

)2(

7

12

)=

525

1728

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

5

12

)3=

125

1728

，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	343 1728	735 1728	525 1728	125 1728

∵ξ～B（3，

5

12

），
∴Eξ=3×

5

12

=

5

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题．