Question

已知数列的{a_n}的前n项和S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，则

Sn+10

an

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：设数列{a_n}的公差为d，由题设条件推导出d=2a₁，由此得到

Sn+10

an

=

(n+10)2

2n-1

，从而能求出

Sn+10

an

的最小值．

解答： 解：设数列{a_n}的公差为d，
∵{a_n}的前n项和S_n，{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，
∴2

S2

=

S1

+

S3

，
∴2

2a1+d

=

a1

+

3a1+3d

，
解得d=2a₁，
∴

Sn+10

an

=

(n+10)2

2n-1

=

1

4

×

[(2n-1)+21]2

2n-1

=

1

4

[(2n-1)+

212

2n-1

+42]
≥

1

4

(2×21+42)=21．
∴

Sn+10

an

的最小值是21．
故答案为：21．

点评：本题考查数的前n和加10与数列的第n项的比值的最小值的求法，是中档题，解题时要熟练掌握等差数列的性质．