Question

12．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-4y≤-3}\\{3x+5y≤25}\\{x≥1}\end{array}\right.$，（本题不作图不得分）
（1）求z=2x+y的最大值和最小值；
（2）求z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围．

Answer 1

分析 由已知首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求各目标函数的最值．

解答 解：由已知得到平面区域如图：（1）z=2x+y变形为y=-2x+z，当此直线经过图中A时使得直线在y轴的截距最小，z最小，经过图中B时在y轴的截距最大，z 最大，A（1，1），B（5，2），所以z=2x+y的最大值为2×5+2=12，最小值为2×1+1=3；
（2）z=$\frac{y+1}{x+1}$的几何意义表示区域内的点与（-1，-1）连接直线的斜率，所以与B的直线斜率最小，与C连接的直线斜率最大，所以z=$\frac{y+1}{x+1}$的最小值为$\frac{2+1}{5+1}=\frac{1}{2}$，最大值为$\frac{\frac{22}{5}+1}{1+1}=\frac{27}{10}$所以z=$\frac{y+1}{x+1}$的取值范围是[$\frac{1}{2}，\frac{27}{10}$]．

点评 本题考查了简单线性规划问题；一般的，首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．考查数形结合的数学思想．