Question

20．已知数列{a_n}中，a₁=-2，前n项和S_n满足a_n+1+3S_n+2=0（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）是否存在整数对（m，n）满足$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$？若存在，求出所有满足题意的整数对（m，n）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在a_n+1+3S_n+2=0中，分别令n=1与n=2，可求得a₂与a₃的值，当n≥2时，a_n+1+3S_n+2=0与a_n+3S_n-1+2=0相减得：a_n+1-a_n=-3（S_n-S_n-1），进一步整理可得a_n+1=-2a_n（n≥2），而n=1时也符合该等式，故数列{a_n}是首项为-2，公比也为-2的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）由$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$可求得m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）^m-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，若存在整数对（m，n），则$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$必须是整数，通过对（-2）ⁿ+4只能是8的因数±1，±2，±4，±8的情况的讨论，可得答案．

解答 解：（1）在a_n+1+3S_n+2=0中，令n=1可得a₂+3a₁+2=0，又a₁=-2，解得a₂=4；
令n=2可得a₃+3S₂+2=0，解得a₃=-8；…（2分）
当n≥2时，a_n+1+3S_n+2=0与a_n+3S_n-1+2=0相减得：a_n+1-a_n=-3（S_n-S_n-1），
即a_n+1-a_n+3a_n=0，a_n+1=-2a_n（n≥2），而n=1时也符合该等式，
故数列{a_n}是首项为-2，公比也为-2的等比数列，其通项公式为a_n=（-2）ⁿ．    …（5分）
（2）$a_n^2-m{a_n}-4m-8=0$，即（-2）²ⁿ-m（-2）ⁿ=4m+8，
m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，…（8分）
若存在整数对（m，n），则$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$必须是整数，
其中（-2）ⁿ+4只能是8的因数±1，±2，±4，±8，
显然（-2）ⁿ+4=±1无解；
（-2）ⁿ+4=±2，可得n=1，m=-2；
（-2）ⁿ+4=±4可得n=3，m=-14；
（-2）ⁿ+4=±8可得n=2，m=1；
综上所有的满足题意得整数对为（-2，1），（-14，3），（1，2）．    …（12分）

点评 本题考查数列递推式，（Ⅱ）中分离参数m，得到m=$\frac{{（-2）}^{2n}-8}{{（-2）}^{n}+4}$=（-2）ⁿ-4+$\frac{8}{{（-2）}^{n}+4}$，是关键，也是难点，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题．