Question

2．已知函数f（x）=ax+$\frac{b}{x}$+c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$
（1）求a，b，c的值；
（2）用定义证明f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上的单调性；
（3）试求函数f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，得c=0．再根据f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，建立关于a、b的方程组，解之即得a、b的值；
（2）运用定义证明单调性，注意取值、作差、变形和定符号和下结论等步骤；
（3）根据（2）的单调性，不难得到f（x）在区间（0，$\frac{1}{4}$]上的最小值为f（$\frac{1}{4}$）．

解答 解：（1）∵函数f（x）是奇函数，
∴f（-x）+f（x）=0，即-ax-$\frac{b}{x}$+c+ax+$\frac{b}{x}$+c=0，得c=0．
∵f（1）=$\frac{5}{2}$，f（2）=$\frac{17}{4}$，
∴a+b=$\frac{5}{2}$且2a+$\frac{b}{2}$=$\frac{17}{4}$，解得a=2，b=$\frac{1}{2}$．
∴a=2，b=$\frac{1}{2}$，c=0；
（2）证明：由（1）知，f（x）=2x+$\frac{1}{2x}$，
设0＜m＜n＜$\frac{1}{2}$，f（m）-f（n）=2m+$\frac{1}{2m}$-（2n+$\frac{1}{2n}$）
=2（m-n）+$\frac{1}{2}$•$\frac{n-m}{mn}$=（m-n）（2-$\frac{1}{2mn}$），
由0＜m＜n＜$\frac{1}{2}$，可得0＜mn＜$\frac{1}{4}$，即0＜2mn＜$\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2mn}$＞2，
则m-n＜0，2-$\frac{1}{2mn}$＜0，
可得f（m）-f（n）＞0，即f（m）＞f（n），
则f（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$）上递减；
（3）f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上为减函数，
由此可得，函数f（x）在（0，$\frac{1}{4}$]上也为减函数．
则最小值为f（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$．

点评 本题给出含有参数的分式函数，在已知函数为奇函数的情况下求函数的解析式，并讨论函数的单调性，着重考查了基本初等函数的单调性、奇偶性等知识，属于中档题．