Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在x∈（0，7π）内取得一个最大值和一个最小值，且当x=π时，f（x）有最大值3，当x=6π时，f（x）有最小值-3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m满足Asin（$ω\sqrt{-{m^2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m^2}+4}$+φ）？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意，函数的最值可以确定A，根据在x∈（0，7π）内取到一个最大值和一个最小值，且当x=π时，y有最大值3，当x=6π时，y有最小值-3，可以确定函数的周期，从而求出ω的值和φ的值，从而求得函数的解析式；
（2）根据（1）所求得的ω和φ的值，分析ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+φ和ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+φ的范围，确定函数在该区间上的单调性，即可求得结果．

解答 解：（1）由题意可知：A=3，$\frac{1}{2}$T=5π，
∴T=10π，
则ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{10π}$=$\frac{1}{5}$，
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+φ），
∵点（π，3）在此函数图象上，
∴3sin（$\frac{π}{5}$+φ）=3，$\frac{π}{5}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z．
φ=$\frac{3π}{10}$+2kπ，k∈Z．
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{3π}{10}$．
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）；
（2）∵ω=$\frac{1}{5}$，ϕ=$\frac{3π}{10}$，
∴ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+ϕ=$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-（m-1）}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+ϕ=$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
而y=sint在（0，$\frac{π}{2}$）上是增函数
∴$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+$\frac{3π}{10}$＞$\frac{1}{5}$$\sqrt{{-m}^{2}+4}$+$\frac{3π}{10}$，
∴$\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$＞$\sqrt{{-m}^{2}+4}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{-m}^{2}+2m+3≥0}\\{{-m}^{2}+4≥0}\\{{-m}^{2}+2m+3＞{-m}^{2}+4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤m≤3}\\{-2≤m≤2}\\{m＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜m≤2．
∴m的取值范围是$\frac{1}{2}$＜m≤2．

点评 本题考查根据y=Asin（ωx+φ）的图象求函数的解析式以及求函数的单调区间，问题（2）的设置，增加了题目的难度和新意，易错点在于对ω $\sqrt{{-m}^{2}+2m+3}$+φ∈（0，$\frac{π}{2}$），ω $\sqrt{{-m}^{2}+4}$+φ∈（0，$\frac{π}{2}$）的分析与应用，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，体现了转化的数学思想方法，属于难题．