Question

已知函数f（x）满足f（2+x）+f（6-x）=0，将f（x）的图象按

a

平移后得到g（x）=2+x+sin（x+1）图象，求

a

的坐标．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：函数的性质及应用

分析：把已知条件变形得到函数y=f（x）的对称中心，而函数g（x）=2+x+sin（x+1）=（x+1）+sin（x+1）+1，
图象是由奇函数h（x）=x+sinx左移1，上移1而得，则g（x）的对称中心可求，结合图象平移求得

a

的坐标．

解答： 解：∵函数f（x）满足f（2+x）+f（6-x）=0，即f（2+x）=-f（6-x），
∴令t=2+x，有f（t）=-f（8-t）
∴f（t+4）=-f（4-t），即f（4+t）=-f（4-t），
故y=f（t）关于（4，0）对称，也就是y=f（x）关于（4，0）对称，
g（x）=2+x+sin（x+1）=（x+1）+sin（x+1）+1，
由奇函数h（x）=x+sinx左移1，上移1而得，故g（x）关于（-1，1）对称．
∵f（x）的图象按

a

平移后得到g（x）=2+x+sin（x+1）图象，
∴向量

a

=（-5，1）．

点评：本题考查抽象函数的对称性，考查函数的奇偶性，关键是明确平移前后点的坐标与向量的坐标的关系，是中档题．