Question

已知向量

a

=(sin

x

2

，

1

2

)，

b

=(

3

cos

x

2

-sin

x

2

，1)，函数f(x)=

a

•

b

，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（B+C）=1，a=

3

，b=1，求△ABC的面积S．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由题意得f（x）的解析式为 sin（x+

π

6

），令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得
函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ） 根据f（B+C）=1，求得sin（B+C+

π

6

）=1，求得B+C的值，可得A的值．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，把a=

3

，b=1代入，得到sinB的值可得B的值，再根据A求得C，再根据三角形的面积S=

1

2

•ab•sinC，计算求得结果．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f(x)=

a

•

b

=sin

x

2

(

3

cos

x

2

-sin

x

2

)+

1

2

=

3

sin

x

2

cos

x

2

-sin2

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx-

1-cosx

2

+

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx=sin（x+

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
解得2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，（k∈Z），
所以函数f（x）的单调增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（Ⅱ）∵f（B+C）=1，∴sin（B+C+

π

6

）=1，
又B+C∈（0，π），∴B+C+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

），
∴B+C+

π

6

=

π

2

，B+C=

π

3

，∴A=

2π

3

．
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，把a=

3

，b=1代入，得到sinB=

1

2

，
可得B=

π

6

，或者B=

5π

6

，∵A=

2π

3

为钝角，∴B=

5π

6

舍去，
∴B=

π

6

，C=

π

6

，
所以，△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

•

3

•1•

1

2

=

3

4

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的单调性，正弦定理的应用，属于中档题．