Question

若函数g（x）=

a

b

x+

2

b

（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过一个定点，则

1

a

+

1

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：指数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据指数函数的性质先求出定点的坐标，代入g（x）得a、b的关系，再利用导数的性质求出目标函数的最小值．

解答： 解：∵当x+1=0，即x=-1时，f（x）=1+1=2；
∴函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过一定点（-1，2），
又函数g（x）=

a

b

x+

2

b

（a＞0，b＞0）的图象过点（-1，2），
∴-

a

b

+

2

b

=2，
解得b=

2-a

2

，且0＜a＜2，a≠1；
∴

1

a

+

1

b

=

1

a

+

2

2-a

=

2+a

2a-a2

；
设y=

2+a

2a-a2

，（其中0＜a＜2），
则y′=

(2a-a2)-(2+a)(2-2a)

(2a-a2)2

=

a2+4a-4

(2a-a2)2

，
令a²+4a-4=0，
解得a=2

2

-2，或a=-2

2

-2（不合题意，舍去）；
当a=2

2

-2时，y取得最小值是

1

2 2 -2

+

2

2-(2 2 -2)

=

2 2 +2

8-4

+

2+ 2

4-2

=

3+2 2

2

；
故答案为：

2 2 +3

2

．

点评：本题考查了函数的单调性与最值的问题，求最值时用到了函数的导数，是综合性题目．