Question

设函数f（x）=ax²+lnx．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=（2a+1）x，若当x∈（1，+∞）时，f（x）＜g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出定义域、f′（x），分a≥0，a＜0两种情况进行讨论，通过解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），则h（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，则问题转化为当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0恒成立，进而转化求函数h（x）的最大值问题．求导数h′（x），根据极值点与区间（1，+∞）的关系进行讨论可求得函数的最大值；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+lnx，其中x＞0，
∴f′(x)=

2ax2+1

x

，
当a≥0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，令f′（x）=0，得x=±

- 1 2a

，
∴f（x）在(0，

-  1 2a

)上是增函数，在(

-  1 2a

，+∞)上是减函数．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
则h（x）=ax²-（2a+1）x+lnx，
根据题意，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0恒成立．
∴h′(x)=2ax-(2a+1)+

1

x

=

(x-1)(2ax-1)

x

（1）当0＜a＜

1

2

时，x∈(

1

2a

，+∞)时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在(

1

2a

，+∞)上是增函数，且h(x)∈(h(

1

2a

)，+∞)，不符题意；
（2）当a≥

1

2

时，x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）上是增函数，且h（x）∈（h（1），+∞），不符题意；
（3）当a≤0时，x∈（1，+∞）时，恒有h′（x）＜0，故h（x）在（1，+∞）上是减函数，
于是“h（x）＜0对任意x∈（1，+∞）都成立”的充要条件是h（1）≤0，即a-（2a+1）≤0，
解得a≥-1，故-1≤a≤0．
综上所述，a的取值范围是[-1，0]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生综合运用知识解决问题的能力．