Question

设直角△ABC的直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c，且a＜b，现分别以直线BC，AC和AB为轴将直角△绕轴旋转一周，所得三个旋转体体积分别为V₁，V₂和V₃，试比较V₁，V₂，V₃的大小．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：分别确定以直线BC，AC和AB为轴将直角△绕轴旋转的旋转半径与高，分别代入圆锥的体积公式计算，再根据c＞b＞a，比较体积的大小．

解答： 解：以BC所在直线为轴旋转，所得几何体为圆锥，其体积V₁=

1

3

πb²a，
以AC所在直线为轴旋转，所得几何体为圆锥，其体积V₂=

1

3

πa²b；
以AB所在直线为轴旋转，所得几何体为两个圆锥，其体积V₃=

1

3

π(

ab

c

)2×c=

1

3

π

a2b2

c

，
∴V₁：V₂：V₃=b²a：a²b：

a2b2

c

=

c

a

：

c

b

：1．
∵c＞b＞a，∴

c

a

＞

c

b

＞1，
∴V₁＞V₂＞V₃．

点评：本题考查了旋转体的体积公式，确定旋转体的旋转半径与高是关键．