Question

已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=1，∠A+∠C=2∠B，S_△ABC=

3 3

4

．求b的长和cos2C的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：△ABC中，由条件求得∠B=

π

3

，再由 S_△ABC=

3 3

4

=

1

2

ac•sin∠B，求得c=3，再由余弦定理可得b的值，以及cosC=

a2+b2-c2

2ab

 的值，可得cos2C=2cos²C-1的值．

解答： 解：△ABC中，∵a=1，∠A+∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=π，
∴∠B=

π

3

，∠A+∠C=

2π

3

．
∵S_△ABC=

3 3

4

=

1

2

ac•sin∠B=

1

2

×1×c×

3

2

，
∴c=3．
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cos∠B=1+9-6×

1

2

=7，
∴b=

7

．
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1+7-9

2 7

=-

1

2 7

，
∴cos2C=2cos²C-1=-

13

14

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、二倍角公式的应用，属于中档题．