Question

设a∈R，函数f（x）=x²e^1-x-a（x-1）．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在（

3

4

，2）内的极大值；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x）+a（x-1-e^1-x），当g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂）时，总有x₂g（x₁）≤λf′（x₁），求实数λ的值．（其中f′（x）是f（x）的导函数．）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，可求得f'（x）=

(2x-x2)-ex-1

ex-1

，令h（x）=（2x-x²）-e^x-1，利用导数可判断h（x）的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；
（Ⅱ）表示出g（x），并求得g'（x）=（-x²+2x+a）e^1-x，由题意，得方程-x²+2x+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），从而可得△=4+4a＞0及x₁+x₂=2，由x₁＜x₂，得x₁＜1．则x₂g（x₁）≤λf′（x₁）可化为x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0对任意的x₁∈（-∞，1）恒成立，按照x₁=0、x₁∈（0，1）、x₁∈（-∞，0）三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决；

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²e^1-x-（x-1），则f'（x）=（2x-x²）e^1-x-1=

(2x-x2)-ex-1

ex-1

，
令h（x）=（2x-x²）-e^x-1，则h'（x）=2-2x-e^x-1，
显然h'（x）在（

3

4

，2）内是减函数，
又因h'（

3

4

）=

1

2

-

1

4 e

＜0，故在（

3

4

，2）内，总有h'（x）＜0，
∴h（x）在（

3

4

，2）上是减函数，
又因h（1）=0，
∴当x∈（

3

4

，1）时，h（x）＞0，从而f'（x）＞0，这时f（x）单调递增，
当x∈（1，2）时，h（x）＜0，从而f'（x）＜0，这时f（x）单调递减，
∴f（x）在（

3

4

，2）的极大值是f（1）=1．                      
（Ⅱ）由题意可知g（x）=（x²-a）e^1-x，则g'（x）=（2x-x²+a）e^1-x=（-x²+2x+a）e^1-x．                   
根据题意，方程-x²+2x+a=0有两个不同的实根x₁，x₂（x₁＜x₂），
∴△=4+4a＞0，即a＞-1，且x₁+x₂=2，∵x₁＜x₂，∴x₁＜1．
由x₂g（x₁）≤λf′（x₁），其中f'（x）=（2x-x²）e^1-x-a，
可得（2-x₁）（x12-a）e1-x1≤λ[(2x1-x12)e1-x1-a]，
注意到-x12+2x1+a=0，
∴上式化为（2-x₁）（2x₁）e1-x1≤λ[(2x1-x12)e1-x1+(2x1-x12)]，
即不等式x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0对任意的x₁∈（-∞，1）恒成立，
（i）当x₁=0时，不等式x1[2e1-x1-λ(e1-x1+1)]≤0恒成立，λ∈R；
（ii）当x₁∈（0，1）时，2e1-x1-λ(e1-x1+1)≤0恒成立，即λ≥

2e1-x1

e1-x1+1

．
令函数k（x）=

2e1-x

e1-x+1

=2-

2

e1-x+1

，显然，k（x）是R上的减函数，
∴当x∈（0，1）时，k（x）＜k（0）=

2e

e+1

，∴λ≥

2e

e+1

； 
（iii）当x₁∈（-∞，0）时，2e1-x1-λ(e1-x1+1)≥0恒成立，即λ≤

2e1-x1

e1-x1+1

．
由（ii），当x∈（-∞，0）时，k（x）＞k（0）=

2e

e+1

，∴λ≤

2e

e+1

；
综上所述，λ=

2e

e+1

．

点评：本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．