Question

已知函数f（x）=2cos（

π

6

x+

π

3

）（0≤x≤5），点A、B分别是函数y=f（x）图象上的最高点和最低点．
（1）求点A、B的坐标以及

OA

•

OB

的值
（2）设点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，求sin（

α

2

-2β）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由x的范围求出

π

6

x+

π

3

的范围，得到f（x）的最大值和最小值，从而求出A，B的坐标，则

OA

•

OB

的值
可求；
（2）由点A、B分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展开两角差的正弦公式求得sin（

α

2

-2β）的值．

解答： 解：（1）∵0≤x≤5，∴

π

3

≤

π

6

x+

π

3

≤

7π

6

，
∴-1≤cos（

π

6

x+

π

3

）≤

1

2

．
当

π

6

x+

π

3

=

π

3

，即x=0时，f（x）取得最大值1，
当

π

6

x+

π

3

=π，即x=4时，f（x）取得最小值-2．
因此，所求的坐标为A（0，1），B（4，-2）．
则

OA

=(0，1)，

OB

=(4，-2)．
∴

OA

•

OB

=0-2=-2；
（2）∵点A（0，1）、B（4，-2）分别在角α、β（α、β∈[0，2π]）的终边上，
则α=

π

2

，sinβ=-

5

5

，cosβ=

2 5

5

，
则sin2β=2sinβcosβ=2×(-

5

5

)×

2 5

5

=-

4

5

，
cos2β=2cos²β-1=2×(

2 5

5

)2-1=

3

5

．
∴sin（

α

2

-2β）=sin（

π

4

-2β）=sin

π

4

cos2β-cos

π

4

sin2β
=

2

2

(cos2β-sin2β)=

2

2

(

3

5

+

4

5

)=

7 2

10

．

点评：本题考查了三角函数最值的求法，考查了平面向量的数量积运算，训练了三角函数的倍角公式及和差化积公式，考查了任意角的三角函数的定义，是中档题．