Question

已知函数f（x）=2x 2+

1

2

，g(x)=lnx+b
（1）当b=0时，求函数h（x）=f（x）-g（x）的最值．
（2）若b是正整数，且g（x）≤ax≤f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，试求b的值及a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）b=0时求出h（x），h′（x），根据单调性可求得函数的最小值；
（2）由题意知g（x）≤f（x）恒成立，构造函数转化为求函数最值，由（1）易求b值，对g（x）≤ax≤f（x）恒成立可分离出参数a后转化为函数最值解决，利用基本不等式及导数可得两函数最值；

解答： 解：（1）当b=0时，h（x）=2x2+

1

2

-lnx，
h′（x）=4x-

1

x

=

(2x+1)(2x-1)

x

（x＞0），
令h′（x）=0，得x=

1

2

，或x=-

1

2

（舍去），
当0＜x＜

1

2

时，h′（x）＜0，此时函数h（x）在（0，

1

2

）上单调递减；
当x＞

1

2

时，h′（x）＞0，此时函数h（x）在（

1

2

，+∞）上单调递增；
∴当x=

1

2

时，h（x）有极小值h（

1

2

）=1+ln2，
∴h（x）的最小值为1+ln2；
（2）∵g（x）≤ax≤f（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴g（x）≤f（x）对任意x∈（0，+∞），即b≤2x2+

1

2

-lnx，
由（1）知，h（x）=2x2+

1

2

-lnx，当x=

1

2

时有极小值，也是最小值，
∴b≤1+ln2，
∵b是正整数，且1+ln2∈（1，2），∴b=1，
又g（x）≤ax≤f（x），即

lnx+1

x

≤a≤2x+

1

2x

，
∵2x+

1

2x

≥2，∴a≤2，
设φ（x）=

lnx+1

x

，则φ′（x）=-

lnx

x2

，令φ′（x）=0，得x=1，
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，当x＞1时，φ′（x）＜0，
则当x=1时，φ（x）有极大值，也是最大值为1，
∴a≥1，∴1≤a≤2，
综上所述，b=1，1≤a≤2．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析问题解决问题的能力．