Question

已知函数f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)为奇函数．
（Ⅰ）若f（1）=5，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=-2时，不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，求实数t的最小值；
（Ⅲ）当a≥1时，求证：函数g（x）=f（2^x）-c（c∈R）在（-∞，-1]上至多有一个零点．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由奇函数定义可得f（-x）=-f（x），可求b，由f（1）=5可得a；
（Ⅱ）不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，等价于f（x）_max≤t，易判断a=-2时f（x）在[1，4]上的单调性，由单调性可得最大值；
（Ⅲ）表示出g（x），只需判定函数g（x）在（-∞，-1]单调即可，利用单调性的定义可作出判断；

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f(x)=4x+

a

x

+b(a，b∈R)为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即-4x-

a

x

+b=-4x-

a

x

-b，
∴b=0，
又f（1）=4+a+b=5，
∴a=1
∴函数f（x）的解析式为f(x)=4x+

1

x

．
（Ⅱ）a=-2，f(x)=4x-

2

x

．
∵函数y=4x，y=-

2

x

在[1，4]均单调递增，
∴函数f（x）在[1，4]单调递增，
∴当x∈[1，4]时，f(x)max=f(4)=

31

2

．
∵不等式f（x）≤t在[1，4]上恒成立，
∴t≥

31

2

，
∴实数t的最小值为

31

2

．
（Ⅲ）证明：g(x)=4•2x+

a

2x

-c，
设x₁＜x₂≤-1，

g(x1)-g(x2)=(4•2x1+ a 2x1 -c)-(4•2x2+ a 2x2 -c) = 4•22x1+x2+a•2x2-4•22x2+x1-a•2x1 2x1+x2 = 4•2x1+x2(2x1-2x2)-a(2x1-2x2) 2x1+x2

=

(4•2x1+x2-a)(2x1-2x2)

2x1+x2

，
∵x₁＜x₂≤-1，
∴x1+x2＜-2，4•2x1+x2＜4•2-2=1，
∵a≥1，即-a≤-1，
∴4•2x1+x2-a＜0，又2x1-2x2＜0，2x1+x2＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
∴函数g（x）在（-∞，-1]单调递减，
又c∈R，可知函数g（x）在（-∞，-1]上至多有一个零点．

点评：本题考查函数的单调性、奇偶性及其应用，考查函数最值的求解，考查学生综合运用函数性质分析解决问题的能力，属中档题．