Question

方程cos（x-

π

2

）=0在（0，

π

2

）上的根为m，函数f（x）=sinx-

2x

π

（1）求证：当0＜x＜

π

2

时，sinx＞

2x

π

；
（2）求函数在区间[-π，2π]上的最大值和最小值（用m表示）．
（3）当[-3π，π]时方程f（x）=a有三个不同的实根，求a的范围（用m表示）．

Answer 1

考点：三角函数的最值,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用,三角函数的求值

分析：（1）求出函数的导函数，由已知方程的根确定导函数的零点，然后利用导函数的符号得到原函数在不同区间上的单调性，求出最小值，由闭区间上的最小值等于0得开区间上的不等式成立；
（2）由函数的奇偶性，三角函数的象限符号及已知方程的根得到原函数导函数的零点，然后分析单调性与极值点，从而求得极值；
（3）由函数的奇偶性，三角函数的象限符号及已知方程的根得到原函数导函数的零点，由零点对定义域分段后判断单调性，并求得在不同区间段内的极值，结合函数的值域与单调性得到a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=sinx-

2x

π

，∴f′(x)=cosx-

2

π

，
由于f'（0）＞0，f′(

π

2

)=-

2

π

＜0，并且f'（x）=0仅有一个根m，那么在区间（0，m）上f（x）严格递增，在区间(m，

π

2

)上严格递减．
这样f（x）在[0，

π

2

]上的最小值为min{f（0），f（π/2}}=0，亦即当0＜x＜

π

2

时，sinx＞

2x

π

；
（2）现在考虑cosx-

2

π

=0在[-π，2π]中根的个数，
∵cos（-x）=cosx，∴方程cos（x-

π

2

）=0在(-

π

2

，0)上有一个根-m；
由于cosx在(-π，-

π

2

]以及[

π

2

，

3π

2

]中小于等于0，∴方程在此区间不可能有根；
∵cos（2π-x）=cosx，∴方程在(

3π

2

，2π]中有一个根2π-m．
综上，我们得到方程cosx-

2

π

=0在[-π，2π]中有3个根{-m，m，2π-m}．
讨论极大极小值如下表：

于是我们得到极大值为f（m），极小值为f（-m）和f（2π-m）；
（3）仿照（2）的讨论方法，我们可以得到在[-3π，π]中cosx-

2

π

=0有四个根m，-m，-2π+m，-2π-m．
极大极小值讨论如下表：

在各区间上对应值域为：[4+

2m

π

-sin（m），6]，[4+

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

2m/π+sin（m）]，
[

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

+sin（m））]，[

2m

π

-sin（m），-

2m

π

+sin（m）]，[-2，-

2m

π

+sin（m）]．
由4+

2m

π

-sin（m）＞-

2m

π

+sin（m）以及值域和函数的增减性，我们就能确定函数图象的走势，
∴a的范围是[4+

2m

π

-sin（m），4-

2m

π

+sin（m）]∪[

2m

π

-sin（m），-

2m

π

+sin（m）]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了分类讨论的数学思想方法，考查了学生灵活处理复杂问题的能力，是难度较大的题目．