Question

已知

OA

=（1，sinx-1），

OB

=（sinx+sinxcosx，sinx），f（x）=

OA

•

OB

（x∈R），若

OA

•

OB

＞1，试求|

OA

|²的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

专题：平面向量及应用

分析：利用数量积的坐标运算法则和三角函数的单调性即可得出．

解答： 解：f（x）=

OA

•

OB

=sinx+sinxcosx+sinx（sinx-1）
=

1

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

，
∵

OA

•

OB

＞1，∴=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

1

2

＞1，
化为sin(2x-

π

4

)＞

2

2

，
解得

π

4

+2kπ＜2x-

π

4

＜

3π

4

+2kπ，化为

π

4

+kπ＜x＜

π

2

+kπ（k∈Z）．
|

OA

|2=1+（sinx-1）²，
当k=2n（n∈Z）时，∵

π

4

+2nπ＜x＜

π

2

+2nπ，
∴

2

2

＜sinx＜1．
此时0＜(sinx-1)2＜(1-

2

2

)2=

3

2

-

2

．
∴|

OA

|2∈(1，

5

2

-

2

)．
当k=2n-1（n∈Z）时，

π

4

+(2n-1)π＜x＜

π

2

+(2n-1)π．
∴-1＜sinx＜-

2

2

，
∴

3

2

+

2

＜(sinx-1)2＜4，
∴|

OA

|2∈(

5

2

+

2

，5)．
综上可知：|

OA

|2∈(1，

5

2

-

2

)∪(

5

2

+

2

，5)．

点评：本题考查了数量积的坐标运算法则和三角函数的单调性．