Question

已知函数f（x）=|2x-1|．
（1）求函数y=f（f（x））的解析式；
（2）试做简图判断g（x）=f（f（x））+lnx在（0，1）上的零点数．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用分段函数的性质，分别讨论x的取值范围即可求函数y=f（f（x））的解析式；
（2）由g（x）=0，得到f（f（x））=-lnx，分别作出函数y=f（f（x））和y=-lnx在（0，1）上图象，利用数形结合的思想即可求出函数零点的个数．

解答： 解：（1）f（x）=|2x-1|=

2x-1，x≥ 1 2 1-2x，x＜ 1 2

，
由2x-1=

1

2

得x=

3

4

，
由1-2x=

1

2

，得x=

1

4

，
∴当x≤

1

4

时，1-2x≥

1

2

，此时y=f（f（x））=f（1-2x）=2（1-2x）-1=1-4x，
当

1

4

＜x＜

1

2

时，1-2x＜

1

2

，此时y=f（f（x））=f（1-2x）=1-2（1-2x）=4x-1，
当

1

2

＜x＜

3

4

时，2x-1＜

1

2

，此时y=f（f（x））=f（2x-1）=1-2（2x-1）=-4x+3，
当x≥

3

4

时，2x-1≥

1

2

，此时y=f（f（x））=f（2x-1）=2（2x-1）-1=4x-3，
综上y=f（f（x））=

1-4x，x≤ 1 4 4x-1， 1 4 ＜x＜ 1 2 -4x+3， 1 2 ＜x＜ 3 4 4x-3，x≥ 3 4

．
（2）由g（x）=f（f（x））+lnx=0得f（f（x））=-lnx，
分别作出函数y=f（f（x））和y=-lnx在（0，1）上图象如图：
由图象可知两个函数在（0，1）上的交点个数为3个，
即g（x）=f（f（x））+lnx在（0，1）上的零点数为3个．

点评：本题主要考查复合函数解析式的求法，以及函数零点的个数判断，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的关键．