Question

如图，已知扇形AOB的半径为1，中心角为60°，四边形PQRS是扇形的内接矩形，P为

AB

上一动点，问：点P在怎样的位置时，矩形PQRS的面积的最大？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：已知三角函数模型的应用问题

专题：计算题,解三角形

分析：如图先用所给的角将矩形的面积表示出来，建立三角函数模型，再根据所建立的模型利用三角函数的性质求最值．

解答： 解：如图，在Rt△OPS中，设∠POS=α，则OS=cosα，PS=sinα，
在Rt△ORQ中，

QR

OR

=tan60°=

3

，所以OR=

3

3

QR=

3

3

sinα．
∴RS=OS-OR=cosα-

3

3

sinα．
设矩形ABCD的面积为S，则S=RS•BRQ=（cosα-

3

3

sinα）sinα
=sinαcosα-

3

3

sin²α
=

1

2

sin2α+

3

6

cos2α-

3

6

=

3

3

（

3

2

sin2α+

1

2

cos2α）-

3

6

=

3

3

sin（2α+

π

6

）-

3

6

．
由于0＜α＜

π

3

，所以当2α+

π

6

=

π

2

，即α=

π

6

时，S_最大=

3

3

-

3

6

=

3

6

．
因此，当α=

π

6

时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为

3

6

．

点评：本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简．