Question

已知函数f（x）=x²-2ln|x|与g（x）=sin（x+ψ）（ω＞0）有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的g（x）等于（　　）

• A、sin（2πx-

  π

  2

  ）
• B、sin（

  πx

  2

  -

  π

  2

  ）
• C、sin（πx-

  π

  2

  ）
• D、sin（πx+

  π

  2

  ）

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用导数研究函数f（x）的最大值和最小值，利用f（x）|与g（x）有两个公共点，建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：f（x）定义域为x≠0
①当x＞0时：f（x）=x²-2ln|x|=x²-2lnx，f'（x）=2x-

2

x

，
令f'（x）=0，解得x=1，
由f'（x）＜0，则0＜x＜1，
由f'（x）＞0，则x＞1，
则当x=1时，f（x）取的最小值，最小值为f（1）=1．
②当x＜0时：f（x）=x²-2ln|x|=x²+2lnx，
则f'（x）=2x+

2

x

，
令f'（x）=0，解得x=-1，
由f'（x）＜0，则x＜-1，
由f'（x）＞0，则-1＜x＜0，
则当x=-1时，函数f（x）取最小值，最小值为f（-1）=1．
综合①②所述：f（x）的最小值为f（-1）=f（1）=1
∵只有2个公共点，
∴g（x）最大值为1
则最长周期为|（-1）-1|=2，即T=

2π

ω

=2，即ω=π
则g（1）=sin（π+A）=1，
即π+A=2kπ+

π

2

，即A=2kπ-

π

2

，k∈Z
则周期最大的g（x）=sin（πx+2kπ-

π

2

）=sin（πx-

π

2

），k∈Z，
故选：C．

点评：本题主要考查函数图象的应用，根据导数研究函数的最值是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．