Question

18．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，sinωx），向量$\overrightarrow{b}$=（sinωx-cosωx，2$\sqrt{3}$ cosωx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1（x∈R）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，其中常数ω∈（0，2）．
（1）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求f（x）的值域；
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，用五点法作出函数g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的图象．

Answer 1

分析 （1）由平面向量数量积的运可求f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，由图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，可得2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，结合ω∈（0，2），可得ω的值，进而利用正弦函数的性质即可得解．
（2）由函数的伸缩和平移变换求得g（x）的解析式，利用五点作图法，列表后可作出函数的图象．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinωx+cosωx，sinωx），向量$\overrightarrow{b}$=（sinωx-cosωx，2$\sqrt{3}$ cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=sin²ωx-cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1，
∵图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，其中常数ω∈（0，2）．
∴2ω•$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，得ω=$\frac{3k}{2}$+1，结合ω∈（0，2），可得ω=1；
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]．
（2）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{12}$个单位，
得y=2sin[2（x+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]+1=2sin2x+1．
再向下平移1个单位后得到函数g（x）=2sin2x．
列表：

2x	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
x	-$\frac{π}{2}$	-$\frac{π}{4}$		$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{2}$
y	0	-2	0	2	0

函数的图象为：

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦函数的性质，五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了数形结合思想，属于中档题．