Question

6．数列{a_n}满足a₁=10，a_n+1=a_n+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则$\lim_{n→∞}$（$\sqrt{a_n}$-[${\sqrt{a_n}}$]）=（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入$\lim_{n→∞}$（$\sqrt{a_n}$-[${\sqrt{a_n}}$]）求得答案．

解答 解：由a_n+1=a_n+18n+10，得a₁=10，
又a₁=10，
∴a₂-a₁=18×1+10，
a₃-a₂=18×2+10，
…
a_n-a_n-1=18（n-1）+10，
累加得：a_n=a₁+18[1+2+…+（n-1）]+10（n-1）=$10n+18×\frac{n（n-1）}{2}=9{n}^{2}+n$．
∴$\sqrt{a_n}$-[${\sqrt{a_n}}$]=$\sqrt{9{n}^{2}+n}-3n$=$\frac{9{n}^{2}+n-9{n}^{2}}{\sqrt{9{n}^{2}+n}+3n}=\frac{n}{\sqrt{9{n}^{2}+n}+3n}$=$\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{n}}+3}$．
则$\lim_{n→∞}$（$\sqrt{a_n}$-[${\sqrt{a_n}}$]）=$\underset{lim}{n→∞}\frac{1}{\sqrt{9+\frac{1}{n}}+3}=\frac{1}{6}$．
故选：D．

点评 本题考查数列的极限，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．