Question

16．棱长均为1的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的外接球表面积为$\frac{7π}{3}$．

Answer 1

分析 根据三棱柱的底面边长及高，先得出棱柱底面外接圆的半径及球心距，进而求出三棱柱外接球的球半径，代入球的表面积公式即可得到棱柱的外接球的表面积．

解答 解：由正三棱柱的底面边长为1，
得底面所在平面截其外接球所成的圆O的半径r=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
又由正三棱柱的侧棱长为1，则球心到圆O的球心距d=$\frac{1}{2}$，
根据球心距，截面圆半径，球半径构成直角三角形，
满足勾股定理，我们易得球半径R满足：R²=r²+d²=$\frac{7}{12}$，
∴外接球的表面积S=4πR²=$\frac{7π}{3}$．
故答案为$\frac{7π}{3}$．

点评 本题考查的是棱柱的几何特征及球的体积和表面积，考查数形结合思想、化归与转化思想，其中根据已知求出三棱柱的外接球半径是解答本题的关键．