Question

9．已知函数f（x）=4sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$，其中常数ω＞0．
（1）若y=f（x）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增，求ω的取值范围；
（2）若ω＜4，将函数y=f（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）的图象，且过P（$\frac{π}{6}，1$），求g（x）的解析式；
（3）在（2）问下，若函数g（x）在区间[a，b]（a、b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含20个零点，在所以满足上述条件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦型函数的性质，可得在ω＞0时，区间[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，结合已知中函数y=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增，推出一个关于ω的不等式组，解不等式组，即可求出实数ω的取值范围．
（2）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$ω）+1，由g（x）的图象过P（$\frac{π}{6}，1$），可解得ω=2k，k∈Z，结合范围0＜w＜4，可求ω，即可得解g（x）的解析式．
（3）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的零点，求出x的值，可得b-a的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$=2sinωx，
由正弦函数的性质，在ω＞0时，
当x=-$\frac{π}{2ω}$，函数取得最小值，x=$\frac{π}{2ω}$函数取得最大值，
所以，区间[-$\frac{π}{2ω}$，$\frac{π}{2ω}$]是函数y=2sinωx的一个单调递增区间，
若函数y=2sinωx（ω＞0）在[-$\frac{π}{3}$，$\frac{3π}{4}$]上单调递增，
则-$\frac{π}{2ω}$≤$-\frac{π}{3}$，且$\frac{π}{2ω}$≥$\frac{3π}{4}$，
解得0＜ω≤$\frac{2}{3}$，
（2）∵由（1）可得：f（x）=2sinωx，
∴将函数y=f（x）图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，再向上平移1的单位，得到函数y=g（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$ω）+1的图象，
∵g（x）的图象过P（$\frac{π}{6}，1$），
∴1=2sin（$\frac{π}{6}$ω+$\frac{π}{3}$ω）+1，可得：2sin$\frac{π}{2}$ω=0，解得：$\frac{π}{2}$ω=kπ，k∈Z，即：ω=2k，k∈Z，
∵0＜w＜4，
∴ω=2，可得g（x）的解析式为：g（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1．
（3）∵g（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）+1．
∴g（x）的周期为T=$\frac{2π}{2}$=π，
在区间[a，b]（a，b∈R且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少有20个零点，
即 sin（2x+$\frac{2π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$在[a，b]上至少有20个解．
∴有 2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{5π}{6}$，或2x+$\frac{2π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，
解得：x=kπ-$\frac{3π}{4}$，或x=kπ-$\frac{5π}{12}$，
令k从0取到9，可得x的最小值为a=-$\frac{3π}{4}$，x的最大值b=$\frac{103π}{12}$，
在所有满足上述条件的[a，b]中，b-a的最小值为$\frac{103π}{12}$+$\frac{3π}{4}$=$\frac{28π}{3}$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的零点，正弦函数的图象和性质的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．