Question

14．设a₁，a₂，…，a_π均为正数，已知两个数的均值定理为：$\frac{{{a_1}+{a_2}}}{2}≥\sqrt{{a_1}•{a_2}}$．三个数的均值定理为：$\frac{{{a_1}+{a_2}+{a_3}}}{3}≥3\sqrt{{a_1}•{a_2}•{a_3}}$．据此写出n个数均值定理：$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{3}+…{+a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{•a}_{2}{•a}_{3}…{•a}_{n}}$．

Answer 1

分析 根据两个正数和三个正数的均值定理，类比得出n个正数的均值定理来．

解答 解：根据两个正数的均值定理为：$\frac{{{a_1}+{a_2}}}{2}≥\sqrt{{a_1}•{a_2}}$；
三个正数的均值定理为：$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{3}}{3}$≥$\root{3}{{a}_{1}{•a}_{2}{•a}_{3}}$；
得出n个正数的均值定理为：$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{3}+…{+a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{•a}_{2}{•a}_{3}…{•a}_{n}}$．
故答案为：$\frac{{a}_{1}{+a}_{2}{+a}_{3}+…{+a}_{n}}{n}$≥$\root{n}{{a}_{1}{•a}_{2}{•a}_{3}…{•a}_{n}}$．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，是基础题．