Question

19．定义在R上的可导函数f（x），其导函数为f′（x）满足f′（x）＞2x恒成立，则不等式f（4-x）＜f（x）-8x+16的解集为（2，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x²，根据函数的单调性问题转化为4-x＞x，求出x的范围即可．

解答 解：令g（x）=f（x）-x²，
则g′（x）=f′（x）-2x＞0，
g（x）在R递增，
由f（4-x）＜f（x）-8x+16，
g（4-x）=f（4-x）-（4-x）²=f（4-x）+8x-x²-16，
∴f（4-x）=g（4-x）+x²+16-8x，g（x）+x²=f（x），
∴g（4-x）+x²+16-8x＜g（x）+x²-8x+16
得g（4-x）＜g（x），
故4-x＜x，解得：x＞2，
给答案为：（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键，本题是一道中档题．