Question

4．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，已知A=$\frac{π}{3}$，a²-c²=$\frac{2}{3}$b²．
（1）求tanC值；
（2）若△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出cosC，再求出sinC，即可得tanC值；
（2）根据△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，利用公式$\frac{1}{2}$bcsinA，求出a的值．

解答 解：由题意：A=$\frac{π}{3}$，a²-c²=$\frac{2}{3}$b²．
由余弦定理：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2cb}$
可得：b=3c．
∴a=$\sqrt{7}c$．
故得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$
∴sinC=$\frac{\sqrt{21}}{14}$
那么tanC=$\frac{sinC}{cosC}=\frac{\sqrt{3}}{5}$．
（2）△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
由S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
可得：c=1，
∴a=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查△ABC的面积公式的运用和余弦定理的计算．属于基础题．