Question

1．祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．现有一个圆柱和一个长方体，它们的底面积相等，高也相等，若长方体的底面周长为8，圆柱的体积为16π，根据祖暅原理，可得圆柱的高h的取值范围是（　　）

• A． （0，π]
• B． （0，4π]
• C． [π，+∞）
• D． [4π，+∞）

Answer 1

分析 设长方体的底面长为x，则宽为4-x，可得底面积为S=x（4-x）=-x²+4x（0＜x＜4）．求出S的范围，由祖暅原理知，圆柱的底面积的范围，再由圆柱的体积为16π，可得Sh=16π，由此可得h的取值范围．

解答 解：设长方体的底面长为x，则宽为4-x，
∴底面积为S=x（4-x）=-x²+4x（0＜x＜4）．
∴当x=2时，S_max=4，则S∈（0，4]．
由祖暅原理知，圆柱的底面积的范围为S∈（0，4]．
又圆柱的体积为16π，
由Sh=16π，得h=$\frac{16π}{S}$∈[4π，+∞）．
故选：D．

点评 本题考查二次函数的最值的求法，考查圆柱体积公式的应用，是中档题．