Question

12．已知函数f（x）=lnx+ax²+（2a+1）x，（a∈R）
（1）当a为何值时，曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）当a＜0时，试证明f（x）≤-$\frac{3}{4a}$-2．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由已知可得f′（1）=0，从而求得a的值；
（2）求出原函数的导函数，对分子因式分解后讨论a的取值，由此可得f（x）的单调性；
（3）由（2）知，当a＜0时，$f（x）_{max}=f（-\frac{1}{2a}）$，把要证明的问题转化为证$f（x）_{max}≤-（\frac{3}{4a}+2）$，令h（t）=lnt+1-t（t=-$\frac{1}{2a}$＞0），利用导数证明h（t）≤0即可．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{1}{x}+2ax+（2a+1）$，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与y轴垂直，
∴f′（1）=0，即1+2a+（2a+1）=0，得a=-$\frac{1}{2}$；
（2）解：f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}+（2a+1）x+1}{x}=\frac{（2ax+1）（x+1）}{x}$（x＞0），
当a≥0时，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，则f（x）在（0，-$\frac{1}{2a}$）上单调递增，在（$-\frac{1}{2a}$，+∞）单调递减；
（3）证明：由（2）知，当a＜0时，$f（x）_{max}=f（-\frac{1}{2a}）$．
$f（-\frac{1}{2a}）-（-\frac{3}{4a}+2）=ln（-\frac{1}{2a}）+\frac{1}{2a}+1$，令h（t）=lnt+1-t（t=-$\frac{1}{2a}$＞0），
则h′（t）=$\frac{1}{t}-1=0$，解得t=1．
∴h（t）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减．
∴h（t）_max=h（1）=0，∴h（t）≤0，
即$f（x）_{max}≤-（\frac{3}{4a}+2）$，
∴f（x）≤-$\frac{3}{4a}$-2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，体现了数学转化思想方法，是中档题．