Question

7．三个女生和五个男生排成一排．
（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（结果用数字表示）

Answer 1

分析 （1）分捆绑法2步进行分析：①、先把三个女生看成一个整体，考虑其之间的顺序，②将这个整体与五个男生全排列，由分步计数原理计算可得答案；
（2）用插空法分析：①、先把五个男生排好，分析其空位的数目，②、再把三个女生插入这六个位置中，由分步计数原理计算可得答案；
（3）分2步进行分析：①、在5个男生中挑选2个安排在两端，②、将其余6人全排列，安排在其他位置，由分步计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，分2步进行分析：
①、因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，三个女生之间又都有$A_3^3$种不同的排法，
②、这个整体同五个男生合在一起共有六个元素，进行全排列，排成一排有$A_6^6$种不同排法．
因此共有$A_6^6•A_3^3=4320$种不同的排法；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、先把五个男生排好，五个男生排成一排有$A_5^5$种不同排法，每两个相邻的男生之间留出一个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，
②、再把三个女生插入这六个位置中，有$A_6^3$种方法，
所以共有$A_5^2•A_6^6=14400$种不同的排法；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①、因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有$A_5^2$种不同排法，
②、将其余6人全排列，安排在其他位置，有$A_6^6$种排法，
所以共有$A_5^2•A_6^6=14400$种不同的排法．

点评 本题考查排列、组合的实际应用，关键是掌握特殊问题的处理方法．