Question

17．已知圆x²+y²=4与直线3x-4y+c=0相交于A、B两点，若∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则实数c的值为（　　）

• A． ±5
• B． ±5$\sqrt{2}$
• C． ±10
• D． ±10$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由圆C的方程与直线方程联立，消去y得方程①；
设直线l和圆C的交点坐标，利用根与系数的关系得出x₁x₂和x₁+x₂的值；
再根据∠AOB=90°，得x₁x₂+y₁y₂=0，从而求出c的值．

解答 解：圆x²+y²=4与直线3x-4y+c=0联立，
消去y，得25x²+6cx+c²-64=0…①；
设直线l和圆C的交点为A （x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁、x₂是①的两个根，
∴x₁x₂=$\frac{{c}^{2}-64}{25}$，x₁+x₂=-$\frac{6c}{25}$…②；
由题意：OA⊥OB，即x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+$\frac{1}{4}$（c+3x₁）•$\frac{1}{4}$（c+3x₂）=0，
即$\frac{25}{16}$x₁x₂+$\frac{3}{16}$c（x₁+x₂）+$\frac{{c}^{2}}{16}$=0③；
将②代入③得：（c²-64）-$\frac{18}{25}$c²+c²=0，
解得c=±5$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题综合考查了直线与圆的位置关系，根与系数关系的应用问题，是中档题．