Question

9．已知某厂生产的电子产品的使用寿命X（单位：小时）服从正态分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．
（1）现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1200，1300）的概率；
（2）现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800，1200）的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E（Y）．

Answer 1

分析 （1）X～正态分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．可得P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）．即可得出P（1200≤X＜1300）．
（2）P（800≤X＜1200）=1-2P（X＜800）=$\frac{4}{5}$．可得Y～B$（3，\frac{4}{5}）$．P（Y=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}•（\frac{1}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．即可得出．

解答 解：（1）∵X～正态分布N（1000，σ²），且P（X＜800）=0.1，P（X≥1300）=0.02．
∴P（1200≤X＜1300）+P（X≥1300）=P（X≥1200）=P（X＜800）=0.1．
∴P（1200≤X＜1300）=0.1-0.02=0.08．
即使用寿命在[1200，1300）的概率为0.08．
（2）∵P（800≤X＜1200）=1-2P（X＜800）=1-2×0.1=0.8=$\frac{4}{5}$．
∴Y～B$（3，\frac{4}{5}）$．∴P（Y=k）=${∁}_{3}^{k}（\frac{4}{5}）^{k}•（\frac{1}{5}）^{3-k}$，（k=0，1，2，3）．
P（Y=0）=$（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，P（Y=1）=${∁}_{3}^{1}×\frac{4}{5}×（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，同理可得：P（Y=2）=$\frac{48}{125}$，P（Y=3）=$\frac{64}{125}$．
所以Y分布列：

Y	0	1	2	3
P（Y）	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

EY=$3×\frac{4}{5}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了正态分布的性质及其应用、二项分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．