Question

1．在△ABC中，边BC=2，A=$\frac{π}{6}$，若AC的长使得该三角形有唯一解，则AC的长的取值范围为（0，2]∪{4}．

Answer 1

分析 由正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，可得AC=4sinB，可得范围B∈（0，$\frac{5π}{6}$），由题意，结合正弦函数的图象和性质可得：B∈（0，$\frac{π}{6}$]或B=$\frac{π}{2}$，进而可求AC的长的取值范围．

解答 解：∵BC=a=2，A=$\frac{π}{6}$，
∴由正弦定理$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，可得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{2}{\frac{1}{2}}$，解得：AC=4sinB，
∵A=$\frac{π}{6}$，A+B+C=π，可得：B∈（0，$\frac{5π}{6}$），
∵若AC=4sinB的长使得该三角形有唯一解，则sinB有唯一解，
∴由正弦函数的图象和性质可得：B∈（0，$\frac{π}{6}$]或B=$\frac{π}{2}$，即：sinB∈（0，$\frac{1}{2}$]，或sinB=1，
∴AC=4sinB∈（0，2]，或AC=4．
∴AC的长的取值范围为：（0，2]∪{4}．
故答案为：（0，2]∪{4}．

点评 本题主要考查了正弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．