Question

6．已知△ABC的三条边长a，b，c，证明：$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{c}$+$\frac{|{b}^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}{b}$．

Answer 1

分析 不妨设a≥b≥c＞0，则$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{c}$+$\frac{|{b}^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}{b}$?$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$+$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{a}$≥$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{b}$?ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0，化简即可证明．

解答 证明：不妨设a≥b≥c＞0，
则$\frac{|{a}^{2}-{b}^{2}|}{c}$+$\frac{|{b}^{2}-{c}^{2}|}{a}$≥$\frac{|{c}^{2}-{a}^{2}|}{b}$?$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{c}$+$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}}{a}$≥$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{b}$?ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0．
∵ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）=a³b-ab³+b³c-bc³-a³c+ac³
=a³b-ab³+b³c-bc³-a³c+ac³
=ab（a²-b²）-c（a³-b³）+c³（a-b）
=（a-b）[a²b+ab²-c（a²+ab+b²）+c³]
=（a-b）[ab（a-c）+b²（a-c）-c（a²-c²）]
=（a-b）（a-c）[ab+b²-ac-c²]
=（a-b）（a-c）[a（b-c）+（b-c）（b+c）]
=（a-b）（a-c）（b-c）（a+b+c）≥0．
∴ab（a²-b²）+bc（b²-c²）-ac（a²-c²）≥0．
因此原结论得证．

点评 本题考查了分析法、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．