Question

9．已知$\overrightarrow a=（m-1，1）$，$\overrightarrow b=（n，-1）$，且m＞0，n＞0，若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． 12
• B． 16
• C． 20
• D． 25

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，推导出m+n=1，从而$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10，由此利用m＞0，n＞0，能求出$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（m-1，1）$，$\overrightarrow b=（n，-1）$，且m＞0，n＞0，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{m-1}{n}=\frac{1}{-1}$，∴m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10
≥2$\sqrt{\frac{9m}{n}×\frac{n}{m}}$+10=16．
当且仅当$\frac{9m}{n}=\frac{n}{m}$时，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取最小值16．
故选：B．

点评 本题考查代数式的最小值的求法，考查向量平行、均值不等式等基础知识，考查推理论能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．