Question

17．已知函数f（x）=|2x-a|，g（x）=x+1．
（1）若a=1，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a²+2a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）≤1，即|2x-1|≤1，由此求得它的解集．
（2）由题意可得|2x-a|+|x+1|的最小值大于或等于a²+2a，利用带有绝对值的函数的单调性求得|2x-a|+|x+1|的最小值，建立关于a的不等式，求得a 的范围．

解答 解：（1）若a=1，不等式f（x）≤1，即|2x-1|≤1，即-1≤2x-1≤1，求得 0≤x≤1，
故不等式的解集为{x|0≤x≤1}．
（2）对任意的x∈R，f（x）+|g（x）|≥a²+2a（a＞0）恒成立，即|2x-a|+|x+1|≥a²+2a，
故|2x-a|+|x+1|的最小值大于或等于a²+2a．
∵|2x-a|+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{a-2x+（-x-1），x＜-1}\\{a+1-x，-1≤x≤\frac{a}{2}}\\{3x-a+1，x＞\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，故当x=$\frac{a}{2}$时，|2x-a|+|x+1|取得最小值为$\frac{a}{2}$+1，
∴$\frac{a}{2}$+1≥a²+2a，求得-$\frac{1}{2}$≤a≤2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，函数的恒成立问题，属于中档题．