Question

11．在平面几何里有射影定理：“设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC边上的射影，则AB²=BD•BC”扩展到空间，若三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，点O是A在底面BCD上的射影，且O在△BCD内，类比平面上三角形的射影定理，△ABC、△BOC、△BCD三者的面积关系是（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．．

Answer 1

分析 这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，（如图所示）若△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D是垂足，则AB²=BD•BC，我们可以类比这一性质，推理出若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，则（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．

解答 解：如图所示：

由已知在平面几何中，
若△ABC中，AB⊥AC，AE⊥BC，E是垂足，
则AB²=BD•BC，
我们可以类比这一性质，推理出：
若三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，AO⊥面BCD，O为垂足，
则（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．
故答案为：（S_△ABC）²=S_△BOC．S_△BDC．

点评 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．