Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$为两个非零向量，且|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角
（Ⅱ）求|3$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow{b}$|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$，可得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=0，展开即可求得$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角；
（Ⅱ）直接由$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{|}^{2}=（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}$展开求解．

解答 解：（Ⅰ）设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为θ，
由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1，且（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$⊥\overrightarrow{b}$，
得（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=0$，
∴2×1×cosθ+1=0，得cosθ=$-\frac{1}{2}$，则θ=120°；
（Ⅱ）∵$|3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}{|}^{2}=（3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}=9|\overrightarrow{a}{|}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=$9×4-12×2×2×（-\frac{1}{2}）+4×1$=64，
∴|3$\overrightarrow{a}$$-2\overrightarrow{b}$|=8．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查向量模的求法，是中档题．