Question

9．在平面直角坐标系xOy中，点A（-$\sqrt{2}$，1）关于原点O的对称点为点B，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P是椭圆C上的异于点A，B的一动点，直线AP斜率为k₁，直线BP斜率为k₂，证明：k₁•k₂=-$\frac{1}{2}$；
（Ⅲ）是否存在直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，使四边形OMBN为平行四边形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出B（$\sqrt{2}$，-1），由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设点P坐标为（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，且x₀≠±1，从而${k}_{1}=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$，由此能证明k₁•k₂=-$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两个交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由四边形OMBN为平行四边形，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\sqrt{2}$，-1），当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，不满足题意，当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y=kx+n，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质，结合已知条件能求出存在直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-1与椭圆C交于不同的两点M，N，使四边形OMBN为平行四边形．

解答 解：（Ⅰ）∵点A（-$\sqrt{2}$，1）关于原点O的对称点为点B，∴B（$\sqrt{2}$，-1），
∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
证明：（Ⅱ）设点P坐标为（x₀，y₀），则$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}$=1，且x₀≠±1，
∴${k}_{1}=\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}+\sqrt{2}}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}+\sqrt{2}}•\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}-\sqrt{2}}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{{{x}_{0}}^{2}-2}$
=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{4（1-\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}）-2}$$\frac{{{y}_{0}}^{2}-1}{2（1-{{y}_{0}}^{2}）}$=-$\frac{1}{2}$．
∴k₁•k₂=-$\frac{1}{2}$．
解：（Ⅲ）设直线l与椭圆C的两个交点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵四边形OMBN为平行四边形，∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=$\overrightarrow{OB}$，
∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\sqrt{2}$，-1），
当直线l的斜率不存在时，x₁=x₂，y₁=-y₂，
∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=（2{x}_{1}，0）≠\overrightarrow{OB}$，不满足题意，
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y=kx+n，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+n}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4knx+2n²-4=0，
由△＞0，得4k²-n²+2＞0，（*），
由韦达定理得${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4kn}{1+2{k}^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2n=\frac{2n}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$=（x₁+x₂，y₁+y₂）=（$\frac{-4kn}{1+2{k}^{2}}，\frac{2n}{1+2{k}^{2}}$）=（$\sqrt{2}，-1$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-4kn}{1+2{k}^{2}}=\sqrt{2}}\\{\frac{2n}{1+2{k}^{2}}=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，满足（*）式，
∴存在直线l：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-1与椭圆C交于不同的两点M，N，使四边形OMBN为平行四边形．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的斜率乘积为定值的证明，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查根的判别式、韦达定理、向量知识、椭圆性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．